洛必达法则解压轴题

2014陕西理21(2) 有删改

已知$f(x)=ln(x+1),x\geq0,且f(x)\geq axf’(x)$恒成立,求a的范围

先整理一下

$\begin{align}f(x)=ln(x+1)\Rightarrow f’(x)=\frac{1}{x+1}\Rightarrow ln(x+1)\geq\frac{ax}{x+1}\end{align}$恒成立

分类讨论:

$\begin{align}x=0\Rightarrow ln(x+1)=\frac{ax}{x+1}\end{align}$,显然恒成立,$\therefore$只考虑x>0的情况

法一:分类讨论

$\begin{align}ln(x+1)\geq\frac{ax}{x+1}\end{align}$恒成立$\begin{align}\Rightarrow ln(x+1)-\frac{ax}{x+1}\geq0\end{align}$恒成立

$\begin{align}令ln(x+1)-\frac{ax}{x+1}=F(x)\Rightarrow F’(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{a(x+1)-ax}{(x+1)^2}=\frac{x+1-a}{(x+1)^2}\end{align}$

​ $\begin{align}1^\circ当a=1时,F’(x)>0\Rightarrow F(x)在[0,\infty)单调递增\Rightarrow F(x)> F(0)=0\Rightarrow原命题恒成立\end{align}​$

​ $\begin{align}2^\circ当a<1时,1-a>0,同理可得F(x)>0\Rightarrow原命题恒成立\end{align}$

​ $\begin{align}3^\circ当a>1时,1-a<0,\exists x>0,使得F’(x)<0,不符合题意 \end{align}$

$综上所述,a\leq1$

简析:根据a的不同范围,判断不等式是否成立,比较常规,但思考不直接。

法二:分离变量

$\begin{align}ln(x+1)\geq\frac{ax}{x+1}恒成立\Leftrightarrow a\leq\frac{ln(x+1)(x+1)}{x}=g(x)恒成立\Leftrightarrow a\leq g(x)_{min}\end{align}$

判断g(x)单增并证明(借助991函数表观察单调性)

​ $\begin{align}g’(x)=\frac{[ln(x+1)+1]x-ln(x+1)(x+1)}{x^2}=\frac{x-ln(x+1)}{x^2}>0\end{align}$

​ $\begin{align}\because 分母x^2>0\therefore 要证g’(x)>0,即证h(x)=x-ln(x+1)>0\end{align}$

​ $\begin{align}h’(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}>0\Rightarrow h(x)单调递增\ \Rightarrow x>0时,h(x)>h(0)=0\end{align}$

​ $\Rightarrow x>0时,g’(x)>0恒成立\Rightarrow g(x)在[0,\infty)单调递增$

洛必达法则求极限(可借助991CLAC功能求极限)

​ $\begin{align}\left[\frac{ln(x+1)(x+1)}{x}\right]{min}=\lim{x\to0}{\frac{ln(x+1)(x+1)}{x}}\end{align}$

​ 在有计算器的情况下,我们可以取x=0.0001这样的数值得到极限

​ 若要严格计算,我们就需要用到洛必达法则,此时要求一个$\begin{align}\frac{0}{0}\end{align}$型的函数极限

​ 使用一次洛必达法则,上下分别求导

​ $\begin{align}\lim_{x\to0}{\frac{ln(x+1)(x+1)}{x}}=\lim_{x\to0}{\frac{(ln(x+1)(x+1))’}{x’}}=\lim_{x\to0}{\frac{1+ln(x+1)}{1}}\end{align}=1$

​ $\begin{align}\therefore a\leq\left[ \frac{ln(x+1)(x+1)}{x} \right]_{min}\end{align}=1$

​ 优点:目标明确,思路清晰,推导流畅,就算被扣掉一两分过程分也不算太亏。

​ 缺点:

​ 实际做题时,洛必达法则只能起到临门一脚的作用,且在使用之前一定要判断单调性。

​ 尤其对于上海考生而言,靠赋临近值就可以很快地计算出任意极限,价值就不甚明显了。